1686. Прямая, проходящая через общую точку A
двух окружностей, пересекает вторично эти окружности в точках B
и C
соответственно. Расстояние между проекциями центров окружностей на эту прямую равно 12. Найдите BC
, если известно, что точка A
лежит на отрезке BC
.
Ответ. 24.
Указание. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Решение. Пусть M
и N
— проекции центров O_{1}
и O_{2}
данных окружностей на прямую BC
(M
на AB
, N
на AC
). Поскольку диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, то точки M
и N
— середины отрезков AB
и CD
. Следовательно,
BC=AB+AC=2AM+2AN=2(AM+AN)=2MN=2\cdot12=24.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 10.1, с. 76