16862. Внутри треугольника ABC
со сторонами 7, 4 и 6 выбрана точка M
, для которой \angle AMB=\angle BMC=\angle CMA
. Найдите сумму квадратов расстояний от точки M
до вершин треугольника.
Ответ. \frac{101-3\sqrt{85}}{2}
.
Решение. Пусть BC=a=7
, AC=b=4
и AB=c=6
— стороны треугольника ABC
, расстояния от точки M
до вершин A
, B
и C
равны соответственно k
, l
и m
, S
— площадь треугольника ABC
, p=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{17}{2}
— полупериметр. Тогда
S=S_{\triangle ABM}+S_{\triangle ACM}+S_{\triangle BCM}=
=\frac{1}{2}kl\sin120^{\circ}+\frac{1}{2}km\sin120^{\circ}+\frac{1}{2}lm\sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{4}(kl+km+lm).
По теореме косинусов
a^{2}=l^{2}+m^{2}-2lm\cos120^{\circ}=l^{2}+m^{2}+lm.
Аналогично,
b^{2}=k^{2}+m^{2}+km,~c^{2}=k^{2}+l^{2}+kl.
Сложив эти три равенства, получим
a^{2}+b^{2}+c^{2}=2k^{2}+2l^{2}+2m^{2}+km+kl+lm~\Rightarrow
\Rightarrow~k^{2}+l^{2}+m^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-\frac{1}{2}(km+kl+lm)=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-\frac{2S}{\sqrt{3}}.
Поскольку
a^{2}+b^{2}+c^{2}=49+16+36=101,
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{\frac{17}{2}\left(\frac{17}{2}-7\right)\left(\frac{17}{2}-4\right))\left(\frac{17}{2}-6\right)}=
=\sqrt{\frac{17}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{9}{2}\cdot\frac{5}{2}}=\frac{3\sqrt{3\cdot85}}{4},
то
k^{2}+l^{2}+m^{2}=\frac{1}{2}\cdot101-\frac{2\cdot\frac{3\sqrt{3\cdot85}}{4}}{\sqrt{3}}=\frac{101-3\sqrt{85}}{2}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2020-2021, отборочный этап (блиц-тур), 10-11 классы, задача 3