1687. Две хорды окружности взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние от точки их пересечения до центра окружности равно расстоянию между их серединами.
Указание. Пусть O
— центр окружности, AB
и CD
— данные хорды, M
и N
— их середины, K
— точка пересечения хорд. Докажите равенство прямоугольных треугольников KOM
и NMO
.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр окружности, AB
и CD
— данные хорды, не являющиеся диаметрами, M
и N
— их середины, K
— точка пересечения хорд. Прямая ON
проходит через середину хорды CD
, поэтому ON\perp CD
, а так как AB\perp CD
, то ON\parallel AB
. Аналогично докажем, что OM\parallel CD
. Следовательно, OM\perp ON
.
Из равенства прямоугольных треугольников OMK
и KNO
(по гипотенузе и острому углу) следует, что KN=MO
, значит, прямоугольные треугольники KOM
и NMO
равны по двум катетам. Следовательно, OK=MN
.
Второй способ. Пусть O
— центр окружности, AB
и CD
— данные хорды, M
и N
— их середины, K
— точка пересечения хорд. Четырёхугольник OMKN
— прямоугольник, следовательно, его диагонали OK
и MN
равны между собой.