16870. Точка D
делит сторону AB
равностороннего треугольника ABC
в отношении AD:DB=1:2
. Через точку D
проведены две прямые: одна параллельна стороне BC
и пересекает AC
в точке E
, а другая параллельна стороне AC
и пересекает BC
в точке F
. Прямые AF
и BE
пересекаются в точке M
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BMF
, если сторона треугольника ABC
равна \sqrt{3}
.
Ответ. \frac{2}{3}
.
Решение. Обозначим \angle ABE=\alpha
, \angle BAF=\beta
и \angle BMF=\gamma
.
Четырёхугольник DFCE
— параллелограмм, поэтому, а треугольник ADE
равносторонний, поэтому CF=ED=AE
. Значит, треугольники ABE
и CAF
равны по двум сторонам и углу между ними. Поскольку BMF
— внешний угол треугольника AMB
, получаем, что
\angle BMF=\gamma=\alpha+\beta=60^{\circ}.
Кроме того,
BF=BD=\frac{2}{3}AB=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника BMF
. По теореме синусов
R=\frac{BF}{2\sin\angle BMF}=\frac{BF}{2\cdot\sin60^{\circ}}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{3}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023-2024, октябрь 2023, отборочный тур, 11 класс, задача 6, вариант 1