16872. Три окружности K_{1}
, K_{2}
и K_{3}
с радиусами 1, 2 и 4 соответственно попарно касаются друг друга внешним образом. Четвёртая окружность K_{4}
касается внешним образом окружностей K_{1}
и K_{3}
, её центр лежит на прямой, проходящей через центры окружностей K_{1}
и K_{2}
, и расположен вне отрезка, соединяющего их центры. Найдите радиус четвёртой окружности.
Ответ. \frac{7}{5}
.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
и O_{4}
— центры окружностей K_{1}
, K_{2}
, K_{3}
и K_{4}
соответственно (см. рис.), а x
— радиус окружности K_{4}
. Расстояние между центрами окружностей, касающихся внешним образом, равно сумме их радиусов, поэтому стороны треугольника O_{2}O_{3}O_{4}
равны
O_{2}O_{3}=2+4=6,~O_{2}O_{4}=2+1+1+x=4+x,~O_{3}O_{4}=4+x,
а отрезок O_{3}O_{1}
равен 5.
Обозначим \angle O_{3}O_{2}O_{4}=\angle O_{3}O_{2}O_{1}=\alpha
. По теореме косинусов из треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
со сторонами O_{1}O_{3}=5
,O_{1}O_{2}=3
и O_{2}O_{3}=6
находим, что
\cos\alpha=\frac{9+36-25}{2\cdot3\cdot6}=\frac{5}{9}.
Пусть M
— середина основания O_{2}O_{3}
равнобедренного треугольника O_{2}O_{3}O_{4}
. Тогда
\frac{5}{9}=\cos\alpha=\frac{O_{2}M}{O_{2}O_{4}}=\frac{3}{4+x},
откуда x=\frac{7}{5}
.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023-2024, октябрь 2023, отб. тур, 10 класс, комп. 1, задача 5, вариант 1