16874. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность радиуса 2, причём прямые AB
и CD
перпендикулярны. Диагональ AC
равна \sqrt{7}
. Найдите вторую диагональ BD
.
Ответ. 3.
Решение. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке M
. Обозначим \angle ADC=\angle ADM=\alpha
и \angle BAD=\angle MAD=\beta
, R
— радиус окружности. Тогда \alpha+\beta=90^{\circ}
.
По теореме синусов
\sin\alpha=\frac{2R}{AC}=\frac{4}{7},
Поэтому
\sin\beta=\sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos\beta=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\frac{3}{4}.
Следовательно,
BD=2R\sin\beta=4\cdot\frac{3}{4}=3.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023-2024, октябрь 2023, отб. тур, компл. 2, 10 класс, задача 5, вариант 1