16876. Через точку D
основания AC
равнобедренного треугольника ABC
проведён луч BD
, пересекающий описанную окружность треугольника в точке E
. Известно, что BE=\sqrt{3}
и BD:DE=1:2
. Найдите боковую сторону треугольника.
Ответ. 1.
Решение. Вписанные углы AEB
и ACB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны, а так как треугольник ABC
равнобедренный с основанием AC
, то
\angle AEB=\angle ACB=\angle CAB=\angle DAB.
Значит, треугольники BAE
и BDA
с общим углом при вершине B
подобны по двум углам. Тогда
\frac{AB}{DB}=\frac{BE}{AB}~\Rightarrow~AB^{2}=BE\cdot DB=\sqrt{3}\cdot\frac{1}{3}\sqrt{3}=1.
Следовательно,
BC=AB=1.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023-2024, октябрь 2023, отб. тур, компл. 3, 10 класс, задача 5, вариант 1