16878. Окружность, проходящая через вершины A
, B
и C
трапеции ABCD
с основаниями AB
и CD
, касается боковой стороны AD
. Найдите диагональ AC
трапеции, если её основания равны 1 и 4.
Ответ. 2.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle CAD=\angle ABC
, а так как CD\parallel AB
, то \angle ACD=\angle BAC
. Значит, треугольники ADC
и BCA
подобны по двум углам. Значит,
\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{AC}~\Rightarrow~AC^{2}=AB\cdot CD=4\cdot1=4.
Следовательно, AC=2
.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023-2024, октябрь 2023, отб. тур, компл. 1, 9 класс, задача 5, вариант 1