16880. Точки A
, B
, C
и D
окружности — вершины выпуклого четырёхугольника ABCD
. Прямые AB
и CD
пересекаются в точке M
, а прямые BC
и AD
— в точке N
вне окружности. Дано отношение DN:BM=2
. Найдите CN
, если CM=1
.
Ответ. 2.
Решение. Обозначим, \angle BCM=\angle DCN=\alpha
и \angle CDN=\beta
. Поскольку четырёхугольник ABCD
вписанный,
\angle CBM=180^{\circ}-\angle ABC=\angle ADC=180^{\circ}-\beta.
Положим BM=x
и DN=2x
. По теореме синусов из треугольников BCM
и DCN
получаем
\frac{1}{\sin(180^{\circ}-\beta)}=\frac{x}{\sin\alpha},~\mbox{или}~\frac{1}{\sin\beta}=\frac{x}{\sin\alpha},
\frac{CN}{\sin\beta}=\frac{2x}{\sin\alpha}.
Разделив второе из полученных равенство на первое, находим
CN=\frac{2x}{x}\cdot1=2.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023-2024, ноябрь 2023, отб. тур, компл. 2, 9 класс, задача 5, вариант 1