16882. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность и AB=AD
. На сторонах BC
и DC
отмечены точки M
и N
, для которых \angle BAD=2\angle MAN
, MB=1
и ND=2
. Найдите MN
.
Ответ. 3.
Решение. Обозначим \angle DAN=\alpha
и \angle BAM=\beta
. Тогда по условию
\angle NAM=\frac{1}{2}\angle BAD=\alpha+\beta.
Построим точку K
, симметричную D
относительно прямой AN
. Тогда
\angle NAK=\angle NAD=\alpha,~AK=AD,~NK=ND,
а так как
\angle MAK=\angle MAN-\angle KAN=(\alpha+\beta)-\alpha=\beta=\angle MAB~\mbox{и}~AB=AD=AK,
то точка K
симметрична B
относительно прямой AM
.
Из симметрии
\angle AKN=\angle ADN=\angle ADC~\mbox{и}~\angle AKM=\angle ABM=\angle ABC.
Поскольку четырёхугольник ABCD
вписанный,
\angle AKN+\angle AKM=\angle ADC+\angle ABC=180^{\circ}.
Значит, точка K
лежит на отрезке MN
. Следовательно,
MN=NK+MK=ND+MB=1+2=3.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023-2024, октябрь 2023, отб. тур, компл. 3, 9 класс, задача 5, вариант 1