16884. На сторонах AB
, BC
, CD
и DA
прямоугольника ABCD
отмечены точки соответственно P
, Q
, R
и T
, для которых прямые PT
и QR
параллельны, а прямые PR
и QT
, пересекающиеся в точке O
, перпендикулярны. Найдите сумму отрезков AO
и OC
, если стороны прямоугольника равны 3 и 4.
Ответ. 5.
Решение. Из точек A
и O
отрезок PT
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром PT
. Вписанные в эту окружность углы AOP
и ATP
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Аналогично, равны углы COR
и CQR
. В то же время, из параллельности PT
и QR
равны углы ATP
и CQR
, поэтому
\angle AOP=\angle ATP=\angle CQR=\angle COR.
Значит, точки A
, O
и C
лежат на одной прямой в указанном порядке. Следовательно, если AB=3
и BC=4
, то
AO+OC=AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023-2024, октябрь 2023, отб. тур, компл. 1, 8 класс, задача 5, вариант 1