16888. В четырёхугольник, у которого произведения противоположных сторон равны, можно вписать окружность. Около него можно также описать окружность радиуса 2,5. Одна из его сторон равна 3. Найдите другие стороны четырёхугольника.
Ответ. 3, 4, 4.
Решение. Пусть стороны AB
, BC
, CD
и DA
четырёхугольника ABCD
равны a
, b
, c
и d
соответственно. По условию ac=bd
и a+c=b+d
(так как него можно вписать окружность). Из системы
\syst{a+c=b+d\\ac=bd\\}
следует, что пары чисел (a;c)
и (b;d)
являются корнями одного и того же квадратного уравнения (теорема, обратная теореме Виета). Поэтому возможны два случая: a=b
, c=d
или a=d
, b=c
.
Случай 1. BA=a=b=BC
и DC=c=d=DA
. Точки B
и D
равноудалены от концов отрезка AC
, поэтому прямая BD
— серединный перпендикуляр к хорде AC
, т. е. отрезок BD
— диаметр описанной окружности данного четырёхугольника. Значит, треугольник ABD
прямоугольный с прямым углом при вершине A
.
Пусть AB=a=3
. Тогда BC=b=3
, а по теореме Пифагора
CD=AD=\sqrt{BD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4.
Случай 2. a=d
и b=c
отличается от первого только обозначениями.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023-2024, ноябрь 2023, отб. тур, компл. 2, 8 класс, задача 5, вариант 2