16890. На сторонах AB
и AC
остроугольного треугольника ABC
как на диаметрах, построены окружности K_{1}
и K_{2}
. Прямая, проходящая через вершину A
и параллельная стороне BC
, пересекает окружности в точках M
и N
, отличных от A
. Найдите площадь четырёхугольника BMNC
, если площадь треугольника ABC
равна 1.
Ответ. 2.
Решение. Точка M
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle AMB=90^{\circ}
. Аналогично, \angle ANC=90^{\circ}
, а так как MN\parallel BC
, то углы при вершинах B
и C
четырёхугольника BMNC
тоже равны 90^{\circ}
. Значит, BMNC
— прямоугольник, причём его площадь вдвое больше площади треугольника ABC
, так как высота треугольника ABC
равна стороне BM
прямоугольника. Следовательно, S_{BMNC}=2
.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023-2024, октябрь 2023, отб. тур, компл. 1, 7 класс, задача 5, вариант 1