16901. Угол при вершине B
треугольника ABC
равен 130^{\circ}
. Через точки A
и C
проведены прямые, перпендикулярные прямой AC
и вторично пересекающие окружность, описанную около треугольника ABC
, в точках E
и D
. Найдите острый угол между диагоналями четырёхугольника с вершинами в точках A
, C
, D
и E
.
Ответ. 80^{\circ}
.
Решение. Пусть прямые, проведённые через точки A
и C
перпендикулярно AC
, вторично пересекают описанную окружность треугольника ABC
в точках D
и E
соответственно.
Отрезок CE
виден из точки A
под прямым углом, поэтому CE
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
. Аналогично, AD
— тоже диаметр этой окружности. Значит, точка O
пересечения отрезков CE
и AD
— центр окружности.
Из вписанного четырёхугольника ABCD
получаем, что
\angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}.
Треугольник COD
равнобедренный с основанием CD
. Следовательно,
\angle COD=180^{\circ}-2\angle ODC=180^{\circ}-2\angle ADC=180^{\circ}-3\cdot50^{\circ}=80^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2022-2023, ноябрь 2023, закл. тур, 8 класс, задача 5, вариант 1