16903. Выпуклый четырёхугольник ABCD
вписан в окружность. Его диагональ BD
является биссектрисой угла при вершине B
, составляет острый угол 72^{\circ}
с другой диагональю и угол 53^{\circ}
со стороной AD
. Найдите углы четырёхугольника.
Ответ. 72^{\circ}
, 110^{\circ}
, 108^{\circ}
, 70^{\circ}
или 108^{\circ}
, 38^{\circ}
, 70^{\circ}
, 142^{\circ}
.
Решение. Вписанные ADB
и ACB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ACB=\angle ADB=53^{\circ}.
1. Пусть \angle BOC=72^{\circ}
.
Сумма углов треугольника BOC
равна 180^{\circ}
, поэтому
\angle ABO=\angle OBC=180^{\circ}-\angle OCB-\angle-\angle BOC=180^{\circ}-53^{\circ}-72^{\circ}=55^{\circ},
так как по условию BD
— биссектриса угла ABC
. Значит,
\angle ABC=2\cdot55^{\circ}=110^{\circ}.
Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180^{\circ}
поэтому
\angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}.
Тогда
\angle BDC=\angle ADC-\angle ADB=70^{\circ}-53^{\circ}=17^{\circ},
а так как вписанные углы BAC
и BDC
опираются на одну и ту же дугу, то
\angle BAC=\angle BDC=17^{\circ}~\Rightarrow~\angle ADC=17^{\circ}+55^{\circ}=72^{\circ}.
Наконец,
\angle BCD=180^{\circ}-\angle BAD=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}.
2. Пусть \angle AOB=72^{\circ}
.
Поскольку AOB
— внешний угол треугольника OBC
, получаем
\angle DBC=\angle OBC=\angle\angle AOB-\angle BOC=72^{\circ}-\angle53^{\circ}=19^{\circ},
а так как по условию BD
— биссектриса угла ABC
, то
\angle ABC=2\angle DBC=2\cdot19^{\circ}=38^{\circ},~\angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-38^{\circ}=142^{\circ}.
Вписанные углы ACD
и ABD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ACD=\angle ABD=19^{\circ}~\Rightarrow~\angle BCD=19^{\circ}+53^{\circ}=72^{\circ}.
Наконец,
\angle BAD=180^{\circ}-\angle BCD=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2022-2023, ноябрь 2023, закл. тур, 7 класс, задача 5, вариант 1