16905. В треугольнике ABC
площади 8 проведены медианы AM
, BN
и CQ
. На прямой AC
взята точка P
, для которой AP:PC=1:3
. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках P
, M
, N
и Q
.
Ответ. 3 или 6.
Решение. Пусть S=8
— площадь треугольника ABC
. Отрезки MQ
и NQ
— средние линии треугольника ABC
, поэтому
S_{\triangle BMN}=S_{\triangle ANQ}=\frac{1}{4}S=2.
Тогда площадь ромба CMQN
равна
S_{CMQN}=S-\frac{1}{4}S-\frac{1}{4}S=\frac{1}{2}S=4
(см. задачу 3021).
Пусть точка P
лежит на отрезке AC
. Тогда (см. задачу 3007)
S_{PMQN}=S_{CMQN}-S_{\triangle MCP}=S_{CMQN}-\frac{CP}{CA}\cdot\frac{CM}{CB}\cdot S=4-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot8=4-1=3.
Пусть точка P
лежит на продолжении отрезка AC
за точку C
. Тогда
S_{PMQN}=S_{CMQN}+S_{\triangle MCP}=S_{CMQN}+\frac{CP}{CA}\cdot\frac{CM}{CB}\cdot S=4+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot8=4+\frac{1}{4}\cdot8=6.
Если точка P
лежит на продолжении отрезка AC
за точку A
, то аналогично получим, что S_{PNQM}=6
.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2022-2023, отборочный тур, компл.3, 11 класс, задача 5, вариант 1