16905. В треугольнике ABC
площади 8 проведены медианы AM
, BN
и CQ
. На прямой AC
взята точка P
, для которой AP:PC=1:3
. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках P
, M
, N
и Q
.
Ответ. 3 или 6.
Решение. Пусть S=8
— площадь треугольника ABC
. Отрезки MQ
и NQ
— средние линии треугольника ABC
, поэтому
S_{\triangle BMN}=S_{\triangle ANQ}=S_{\triangle MNQ}=\frac{1}{4}S=2.
Тогда, поскольку QP
— медиана треугольника ANQ
получаем
S_{\triangle QPN}=\frac{1}{2}s_{\triangle ANQ}=1.
Следовательно,
S_{\triangle MNPQ}=S_{\triangle MNQ}+S_{\triangle QPN}=2+1=3.
Заметим, что точка P
не может лежать на продолжении отрезка AC
за точку C
, так как тогда AP\gt CP
, что противоречит условию \frac{AP}{PC}=\frac{1}{3}
. Следовательно, искомая площадь равна 3 или 6.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2022-2023, отборочный тур, компл.3, 11 класс, задача 5, вариант 1