16907. На сторонах AB
и BC
вне треугольника ABC
построены два правильных треугольника ABM
и BCN
. Точки P
, Q
и R
— середины отрезков AB
, MN
и BC
соответственно. Найдите площадь треугольника PQR
, если AC=4
.
Ответ. \sqrt{3}
.
Решение. Отметим середины D
и E
сторон BM
и BN
соответственно.
Поскольку PR
— средняя линия треугольника ABC
то PR=\frac{1}{2}AC=2
. Поскольку ER
и DP
— средние линии треугольников BNC
и BMA
соответственно, треугольники BER
и BDP
равносторонние.
Поскольку DQ
и QE
— средние линии треугольника BMN
, то DQ\parallel BN
и QE\parallel BM
. Значит, BDQE
— параллелограмм. Тогда
DQ=BE=ER,~DP=DB=QE,~\angle QDP=\angle REQ.
Треугольники QER
и QDP
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому треугольник PQR
равнобедренный, QP=QR
. Кроме того, \angle EQR=\angle DPQ
.
Докажем, что \angle PQR=60^{\circ}
. Обозначим \angle DBE=\angle DQE=\varphi
. Тогда
\angle PQR=\angle DQE-(\angle DQP+\angle EQR)=\angle DQE-(\angle DQP+\angle DPQ)=
=\varphi-(180^{\circ}-\angle PDQ)=\varphi-(180^{\circ}-(60^{\circ}+180^{\circ}-\varphi))=\varphi+60^{\circ}-\varphi=60^{\circ}.
Таким образом, в равнобедренном треугольнике PQR
один из углов равен 60^{\circ}
. Значит, этот треугольник равносторонний. Следовательно,
S_{\triangle PQR}=\frac{PR^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{2^{2}\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2022-2023, отборочный тур, 10 класс, задача 5, вариант 1