16911. Основание AD
параллелограмма ABCD
разбито точками M_{1}
, M_{2}
, …, M_{9}
на десять равных частей. Прямые BM_{1}
, BM_{2}
, …, BM_{9}
пересекают диагональ AC
в точках N_{1}
, N_{2}
, …, N_{9}
соответственно. Найдите седьмой по счёту от вершины A
отрезок разбиения диагонали этими точками, если диагональ равна 136.
Ответ. 5.
Решение. Заметим, что искомый отрезок диагонали — это отрезок N_{6}N_{7}
. Пусть BC=AD=a
. Треугольник AN_{7}M_{7}
подобен треугольнику CN_{7}B
, поэтому
\frac{AN_{7}}{CN_{7}}=\frac{AN_{7}}{BC},~\mbox{или}~\frac{AN_{7}}{CN_{7}}=\frac{\frac{7}{10}a}{a}=\frac{7}{10}.
Значит,
\frac{AN_{7}}{AC}=\frac{7}{7+10}=\frac{7}{17}~\Rightarrow~AS_{7}=\frac{7}{17}AC=\frac{7}{17}\cdot136.
Аналогично,
AN_{6}=\frac{6}{6+10}\cdot136=\frac{6}{16}\cdot136=\frac{3}{8}\cdot136.
Следовательно,
N_{6}N_{7}=AN_{7}-AN_{6}=\frac{7}{17}\cdot136-\frac{3}{8}\cdot136=\frac{5\cdot136}{17\cdot8}=5.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2021-2022, закл. тур, 10 класс, задача 5, вариант 1