16913. Угол при вершине A
остроугольного треугольника ABC
равен 60^{\circ}
. Через вершины B
и C
проведены прямые, перпендикулярные сторонам AB
и AC
соответственно, пересекающиеся в точке D
. Через вершину B
проведена прямая, перпендикулярная прямой AD
и пересекающая сторону AC
в точке M
. Отрезки MA
и MC
равны 3 и 1 соответственно. Найдите сторону BC
.
Ответ. 2\sqrt{7-2\sqrt{3}}
.
Решение. Из точек B
и C
отрезок AD
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AD
. Вписанные в эту окружность углы ADB
и ACB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Кроме того, поскольку BM\perp AD
, равны углы ABM
и ADB
. Значит, треугольники ABM
и ACB
с общим углом при вершине A
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AM}{AB}=\frac{AB}{AC}~\Rightarrow~AB^{2}=AM\cdot AC=3\cdot4=12.
По теореме косинусов
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos60^{\circ}=12+16-\sqrt{12}\cdot428-8\sqrt{3}=4(7-2\sqrt{3}).
Следовательно, BC=2\sqrt{7-2\sqrt{3}}
.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2021-2022, закл. тур, 9 класс, задача 5, вариант 1