16917. В треугольнике ABC
сторона AC
равна 8, сторона AB
равна 5, а угол при вершине A
равен 60^{\circ}
. Точка M
, расположенная на медиане BE
, делит её в отношении BM:ME=4:3
. Прямая AM
пересекает сторону BC
в точке D
. Найдите отрезок BD
.
Ответ. \frac{14}{5}
.
Решение. По теореме косинусов
BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos60^{\circ}}=\sqrt{25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac{1}{2}}=7.
По теореме Менелая для треугольника BEC
и прямой AD
получаем
\frac{BM}{ME}\cdot\frac{EA}{EC}\cdot\frac{CD}{DB}=1,~\mbox{или}~\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{7-BD}{BD}=1,~\mbox{или}~14-2BD=3BD,
откуда BD=\frac{14}{5}
.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2021-2022, отборочный тур, 10 класс, задача 5, вариант 4