16919. Точки M
и N
делят стороны AD
и CD
параллелограмма ABCD
в отношении AM:MD=1:2
и CN:ND=2:3
соответственно. Прямые CM
и BN
пересекаются в точке O
. Найдите отношение отрезков: а) OM
и OC
; б) Найти отношение отрезков OB
и ON
.
Ответ. а) OM:OC=13:6
; б) BO:ON=15:4
.
Решение. Положим AM=x
, MD=2x
, CN=2y
, ND=3y
.
а) Пусть прямые BN
и AD
пересекаются в точке P
. Треугольник DNP
подобен треугольнику CNB
с коэффициентом \frac{DN}{NC}=\frac{3}{2}
, поэтому
DP=\frac{3}{2}BC=\frac{3}{2}\cdot3x=\frac{9}{2}x~\Rightarrow~MP=MD+DP=2x+\frac{9}{2}x=\frac{13}{2}x.
Треугольник MOP
подобен треугольнику COB
с коэффициентом
\frac{MP}{CB}=\frac{\frac{13}{2}x}{3x}=\frac{13}{6}.
Следовательно, \frac{OM}{OC}=\frac{13}{6}
.
б) Пусть прямые CM
и AB
пересекаются в точке Q
. Треугольник AMQ
подобен треугольнику DMC
с коэффициентом \frac{AM}{MD}=\frac{1}{2}
, поэтому
AQ=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\cdot5y=\frac{5}{2}y~\Rightarrow~BQ=AB+AQ=5y+\frac{5}{2}y=\frac{15}{2}y.
Треугольник BOQ
подобен треугольнику NOC
с коэффициентом
\frac{BQ}{CN}=\frac{\frac{15}{2}y}{2y}=\frac{15}{4}.
Следовательно, \frac{BO}{ON}=\frac{15}{4}
.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2021-2022, отборочный тур, 9 класс, задача 5, вариант 1