16921. Окружности K_{1}
и K_{2}
имеют общую точку A
. Через точку A
проведены три прямые: две проходят через центры окружностей и пересекают их в точках B
и C
, третья параллельна BC
и пересекает окружности в точках M
и N
(см. рис.). Найдите отрезок MN
, если BC=1
.
Ответ. 1.
Решение. Пусть AB
и AC
— диаметры окружностей K_{1}
и K_{2}
соответственно.
Точка M
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle AMB=90^{\circ}
. Аналогично, \angle ANC=90^{\circ}
. Из параллельности MN
и BC
получаем, что
\angle CBM=\angle NMB=90^{\circ}.
Аналогично, \angle BCN=90^{\circ}
. Значит, BMCN
— прямоугольник. Следовательно, MN=BC=1
.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2021-2022, отборочный тур, 8 класс, задача 5, вариант 1