16923. Стороны параллелограмма равны 3 и 2. Биссектрисы всех его внутренних углов ограничивают на плоскости многоугольник. Найдите отношение его площади к площади параллелограмма.
Ответ. 1:12
Решение. Пусть ABCD
— параллелограмм, в котором AB=3
и AD=2
, а угол A
равен \alpha
. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны, поэтому многоугольник, о котором говорится в условии, — прямоугольник.
Пусть биссектрисы углов A
и B
данного параллелограмма пересекаются в точке K
, биссектрисы углов B
и C
— в точке L
, а биссектриса угла A
пересекает сторону CD
в точке P
. Тогда
\angle APD=\angle BAP=\frac{\alpha}{2}=\angle PAD.
Треугольник ADP
равнобедренный, поэтому
DP=AD=2,CP=CD-DP=3-2=1.
Опустим перпендикуляр PH
на биссектрису угла C
параллелограмма. Тогда
KL=PH=CP\sin\frac{\alpha}{2}=\sin\frac{\alpha}{2}.
Аналогично получим, что соседняя сторона прямоугольника равна \cos\frac{\alpha}{2}
.
Пусть S
— площадь данного параллелограмма, а S'
— площадь прямоугольника. Тогда
S'=\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}\sin\alpha,~S=2\cdot3\cdot\sin\alpha=6\sin\alpha.
Следовательно,
\frac{S'}{S}=\frac{\frac{1}{2}\sin\alpha}{6\sin\alpha}=\frac{1}{12}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2017-2018, заключительный тур, 10 класс, задача 5, вариант 1