16926. Точка M
делит диагональ AC
квадрата ABCD
в отношении MC:AM=1:3
. Прямая, проходящая через точку M
, делит квадрат на две части, площади которых относятся как 1:2
. В каком отношении эта прямая делит периметр квадрата?
Ответ. 7:5
.
Решение. Рассмотрим квадрат ABCD
со стороной 1. Ясно, что прямая из условия задачи не может быть параллельной стороне квадрата.
Пусть прямая, проходящая через точку M
, пересекает стороны BC
и AD
в точках K
и L
соответственно. Обозначим CK=x
. Треугольник AML
подобен треугольнику CMK
с коэффициентом 3, поэтому AL=3x
. По условию
S_{ABKL}:S_{ABCD}=2:3,~\mbox{или}~\frac{(1-x)+3x}{2}=\frac{2}{3}~\Rightarrow~x=\frac{1}{6}.
Тогда
B+BA+AL=\left(1-\frac{1}{6}\right)+1+3\cdot\frac{1}{6}=\frac{7}{3}.
Следовательно, прямая KL
делит периметр квадрата в отношении
\frac{\frac{7}{3}}{4-\frac{7}{3}}=\frac{7}{5}.
Если прямая из условия пересекает стороны AB
и CD
, получим тот же результат.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2017-2018, отборочный тур, 9 класс, задача 5, вариант 1