16928. Имеются круг, радиуса R
вырезанный из картона, линейка и циркуль. На листе бумаги постройте прямоугольник, равновеликий кругу.
Решение. Нарисуем на плоскости с помощью циркуля и линейки две взаимно перпендикулярные прямые и окружность радиуса R
с центром в точке P
(её строим с помощью циркуля и линейки) на вертикальной прямой, касающуюся горизонтальной прямой (см. рис.). Наложим заданный круг на построенный так, чтобы их границы совпали, а отмеченная на окружности картонного круга точка A
совпала с точкой O
пересечения прямых. Совместив один край линейки с горизонтальной прямой, прокатим картонный круг по линейке на один оборот без скольжения. В этот момент точка A
совпадёт с точкой B
горизонтальной оси, а центр круга займёт положение точки Q
(её тоже строим с помощью циркуля и линейки). Построив перпендикуляр к горизонтальной прямой в точке B
, отложим на нём отрезок BQ
, равный R
. Соединив точки P
и Q
, построим прямоугольник ABQP
. Разделив отрезки BQ
и AP
пополам, получим точки C
и D
. Прямоугольник ABCD
искомый.
Действительно, длина стороны AB
равна длине окружности, т. е. 2\pi R
, длина стороны BC
равна \frac{1}{2}R
по построению. Следовательно, площадь прямоугольника ABCD
равна \pi R^{2}
, т. е. прямоугольник равновелик кругу.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2017-2018, отборочный тур, 8 класс, задача 5, вариант 1