16929. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AB
биссектриса AL
перпендикулярна медиане BM
. Периметр треугольника LMC
равен 99. Найдите периметр треугольника ABC
.
Ответ. 495.
Решение. Обозначим AB=c
и ML=x
. Треугольник ABM
равнобедренный с основанием BM
, так как его высота, проведённая из вершины A
, является биссектрисой. Тогда
AM=AB=c~\Rightarrow~AC=2AM=2c.
Кроме того, треугольники AML
и ABL
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому
BL=ML=x~\Rightarrow~CL=BC-BL=AC-BL=2c-x.
Из условия следует, что
99=CM+ML+CL=c+x+(2c-x)=3c~\Rightarrow~c=33.
Значит, периметр треугольника ABC
равен
AC+BC+AB=2c+2c+c=5c=5\cdot99=495.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2012-2013, отборочный тур, 8-9 классы, задача 3