16931. В треугольнике ABC
известны стороны AB=13
, BC=14
, AC=15
. Пусть точки D
, E
и F
— середины сторон AB
, BC
и CA
соответственно, а X
— отличная от E
точка пересечения окружностей, описанных вокруг треугольников BDE
и CEF
. Чему равна сумма XA+XB+XC
?
Ответ. 24\frac{3}{8}
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Тогда O
— точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Из точек D
и E
отрезок OB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OB
, т. е. на описанной окружности треугольника BDE
. Аналогично, точка O
лежит на описанной окружности треугольника CEF
. Следовательно, точки O
и X
совпадают, а отрезки XA
, XB
и XC
равны R
— радиусу описанной окружности треугольника ABC
.
По формуле Герона находим, что S_{\triangle ABC}=84
. С другой стороны, S_{\triangle ABC}=\frac{13\cdot14\cdot15}{4R}
. Значит,
R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4S_{\triangle ABC}}=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot14\cdot2\cdot3}=\frac{65}{8}.
Следовательно,
XA+XB+XC=3R=\frac{195}{8}=24\frac{3}{8}.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2023-2024, отборочный тур, 8-9 классы, задача 5.1