16934. Пусть ABC
— равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором AB=AC
, точка M
— середина стороны BC
. Построим такой прямоугольник AXBY
, что X
лежит внутри треугольника ABC
и YM=16\sqrt{2}
. Найдите площадь четырёхугольника AXBC
, если известно, что AY^{3}+BY^{3}=28^{3}
.
Ответ. 343.
Решение. Обозначим AY=a
и AX=b
. Из точек M
и Y
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. По теореме Птолемея из вписанного четырёхугольника AMBY
получаем
AB\cdot YM=AB\cdot BY+BM\cdot AY,~\mbox{или}~AM\sqrt{2}\cdot YM=AM\cdot b+AM\cdot a~\Rightarrow
\Rightarrow~YM\sqrt{2}=a+b,
а так как по условию YM=16\sqrt{2}
, то a+b=32
. Тогда
28^{3}=a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{3})=32(a^{2}-ab+b^{3})~\Rightarrow~a^{2}-ab+b^{3}=7^{3}\cdot2.
Следовательно,
S_{AXBC}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AXB}=\frac{1}{2}AB\cdot AC-\frac{1}{2}BX\cdot AX=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{a^{2}+b^{2}}-\frac{ab}{2}=
=\frac{a^{2}+b^{2}}{2}-\frac{ab}{2}=\frac{a^{2}-ab+b^{3}}{2}=\frac{7^{2}\cdot2}{2}=343.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2023-2024, отборочный тур, 10-11 классы, задача 5.2