16935. На полуокружности с центром в точке O
отметили точки A
, B
и C
, причём точка B
лежит на дуге AC
. Биссектриса угла AOC
пересекает отрезок BC
в точке P
. Сколько градусов составляет угол ABO
, если \angle APB=32^{\circ}
?
Ответ. 74^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle CPO=\alpha
, \angle PCO=\beta
и \angle AOC=\gamma
. Заметим, что треугольники APO
и CPO
равны (\angle AOP=\angle COP
, AO=CO
как радиусы, сторона PO
общая). Тогда \angle APO=\alpha
и \angle PAO=\beta
. Из суммы углов четырёхугольника APCO
получаем
2\alpha+2\beta+\gamma=360^{\circ}.
С другой стороны, треугольники ABO
и BCO
равнобедренные; если обозначить через \alpha'
искомый угол ABO
, то \angle BAO=\alpha'
и \angle CBO=\beta
. Из суммы углов четырёхугольника ABCO
получаем
2\alpha'+2\beta+\gamma=360^{\circ}~\Rightarrow~\alpha'=\alpha.
Осталось найти \alpha
. Для этого заметим, что
2\alpha+32^{\circ}=\angle APC+\angle APB=180^{\circ}.
Следовательно,
\alpha=\frac{1}{2}(180^{\circ}-32^{\circ})=74^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2022-2023, отборочный тур, 8-9 классы, задача 8.3.1