16938. Окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
, радиусы которых равны 62 и 25, пересекаются в точках A
и B
. Окружность \omega
касается окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
внешним образом. Прямая AB
пересекает окружность \omega
в точках P
и Q
. Оказалось, что точки P
и Q
делят окружность \omega
на две дуги, длины которых различаются в два раза. Найдите расстояние между центрами окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
.
Ответ. 74.
Решение. Обозначим центры окружностей \omega_{1}
, \omega_{2}
и \omega
через O_{1}
, O_{2}
и O
, а их радиусы — через R_{1}
, R_{2}
и R
соответственно. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке пересечения прямых O_{1}O_{2}
и AB
, ось абсцисс направим по лучу O_{1}O_{2}
. Введём координаты: O_{1}(-d_{1};0)
, O_{2}(d_{2};0)
, A(0;h)
, B(0;-h)
. Нам нужно найти d_{1}+d_{2}
.
Заметим, что абсцисса точки O
равна \pm\frac{1}{2}R
. Действительно, из условия следует, что прямая AB
отсекает от окружности \omega
дугу в 120^{\circ}
. Это означает, что угол при вершине равнобедренного треугольника POQ
равен 120^{\circ}
, т. е. его высота в два раза меньше боковой стороны.
Пусть ордината точки O
равна g
. Рассмотрим случай, когда точка O
имеет координаты \left(\frac{1}{2}R;g\right)
. Тогда
R=O_{1}A,~R_{2}=O_{2}A,~R_{1}+R=O_{1}O,~R_{2}+R=O_{2}O,
поэтому
R_{1}^{2}=d_{1}^{2}+h^{2},~R_{2}^{2}=d_{2}^{2}+h^{2},
(R_{1}+R)^{2}=\left(d_{1}+\frac{1}{2}R\right)^{2}+g^{2},~(R_{2}+R)^{2}=\left(d_{1}+\frac{1}{2}R\right)^{2}+g^{2}.
Вычитая из суммы первого и четвёртого равенств сумму второго и третьего, после очевидны упрощений получим
2R(R_{1}-R_{2})=R(d_{1}+d_{2})~\Rightarrow~d_{1}+d_{2}=2(R_{1}-R_{2})=2(62-25)=74.
Пусть точка O
имеет координаты \left(-\frac{1}{2}R;g\right)
. Проделав аналогичные операции получим
2R(R_{1}-R_{2})=-R(d_{1}+d_{2}).
При данных R_{1}
и R_{2}
левая и правая части этого равенства имеют разные знаки. Следовательно, этот случай невозможен.
Примечание. Эту задачу также можно решить с помощью инверсии с центром B
и произвольным радиусом.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2022-2023, отборочный тур, 10-11 классы, задача 10.5.2