16940. Дан треугольник ABC
. Точки K
и L
— середины сторон AB
и BC
соответственно. Оказалось, что биссектрисы углов AKL
и CLK
пересекаются на отрезке AC
. Найдите отрезок AC
, если известно, что AB=17
и BC=22
.
Ответ. \frac{39}{2}
.
Решение. Пусть X
— точка пересечения биссектрис углов AKL
и CLK
, лежащая на стороне AC
. Отрезок KL
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому KL\parallel AC
. Значит,
\angle AKX=\angle LKX=\angle AXK,
поэтому треугольник AXK
— равнобедренный,
AX=AK=\frac{1}{2}AB.
Аналогично,
CX=CL=\frac{1}{2}BC.
Следовательно,
AC=AX+XC=\frac{1}{2}(AB+BC)=\frac{1}{2}(17+22)=\frac{39}{2}.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2021-2022, отборочный тур, 8-9 классы, задача 2.2