16944. В параллелограмме ABCD
биссектриса угла B
пересекает сторону AD
в точке L
. Оказалось, что \angle BLC=90^{\circ}
. Найдите CL
, если BL=12
и DL=10
.
Ответ. 16.
Решение. Заметим, что
\angle LBA=\angle CBL=\angle ALB
(второе равенство следует из параллельности AD
и BC
), поэтому AB=AL
.
Обозначим через K
точку пересечения прямых BL
и CD
. Тогда
\angle CBK=\angle KBA=\angle BKC
(второе равенство следует из параллельности AB
и CD
), поэтому треугольник BCK
равнобедренный (BC=CK
). Его высота CL
является его биссектрисой.
Аналогично ранее доказанному имеем
\angle DCL=\angle LCB=\angle CLD~\Rightarrow~DL=DC=AB=AL.
Значит, L
— середина стороны AD
, поэтому
BC=AD=2LD=20.
Следовательно, по теореме Пифагора из треугольника BLC
получаем
CL=\sqrt{BC^{2}-BL^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2020-2021, отборочный тур, 8-9 классы, задача 4.2