16950. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
стороны BC
и AD
равны 2 и 2\sqrt{2}
соответственно. Расстояние между серединами диагоналей BD
и AC
равно 1. Найдите угол между прямыми BC
и AD
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины диагоналей соответственно AC
и BD
данного четырёхугольника. Отметим середину P
стороны CD
. Тогда PN
и PM
— средние линии треугольников BCD
и ADC
соответственно, поэтому
NP=\frac{1}{2}BC=1,~MP=\frac{1}{2}AD=\sqrt{2},~NP\parallel BC,~MP\parallel AD.
Стороны угла MPN
сонаправлены лучам DA
и CB
, поэтому угол \alpha
между прямыми BC
и AD
равен углу MNP
. По теореме косинусов
\cos\angle MNP=\frac{PM^{2}+PN^{2}-MN^{2}}{2PM\cdot PN}=\frac{1^{2}+(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}{2\cdot1\cdot\sqrt{2}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Следовательно,
\alpha=\angle MNP=45^{\circ}.
(Можно искомый угол найти также из равнобедренного прямоугольного треугольника MNP
с прямым углом при вершине N
.)
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2019-2020, отборочный тур, 10 класс, задача 5, вариант 2