16951. Докажите, что
\arctg1+\arctg2+\arctg3=\pi.
Решение. Рассмотрим прямоугольник ABCD
со сторонами AB=1
и BC=3
. Пусть M
— середина стороны AB
, а N
и K
— точки на сторонах соответственно AD
и BC
, причём AN=BK=2
.
Обозначим \angle AMN=\alpha
, \angle CMN=\beta
и \angle CMB=\gamma
. Тогда
\alpha=\arctg\frac{AN}{AM}=2,~\beta=\arctg\frac{BC}{BM}=3.
Докажем, что \angle CMN=\frac{\pi}{4}
, откуда будет следовать, что
\arctg1+\arctg2+\arctg3=\beta+(\alpha+\gamma)=\frac{\pi}{4}+\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\pi.
Прямоугольные треугольники CNK
и ANM
равны по двум катетам, поэтому равны их гипотенузы, т. е. CN=MN
. Кроме того,
\angle CNK=\angle MNA~\Rightarrow~\angle CMN=\angle CNK+\angle KNM=\angle MNA+\angle KMN=\angle KNA=\frac{\pi}{2}.
Значит, треугольник CNM
прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, \angle CMN=\frac{\pi}{4}
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 8.2, с. 70