16953. Найдите все положительные числа x
, y
, z
и t
, удовлетворяющие системе
\syst{x+y+z+t=6\\\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{4-y^{2}}+\sqrt{9-z^{2}}+\sqrt{16-t^{2}}=8.\\}
Ответ. x=0{,}6
; y=1{,}2
; z=1{,}8
; t=2{,}4
.
Решение. Рассмотрим прямоугольные треугольники с гипотенузами BM=1
, MK=2
, KP=3
, PA=4
и катетами соответственно x
, y
, z
, t
, сумма длин которых равна 6. Тогда другие катеты равны \sqrt{1-x^{2}}
, \sqrt{4-y^{2}}
, \sqrt{9-z^{2}}
, \sqrt{16-t^{2}}
, а их сумма по условию равна 8.
Расположим эти треугольники, как показано на рисунке. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом при вершине C
известно, что AC=9
и BC=6
. Тогда
AB=4+3+2+1,
поэтому, на самом деле, ломаная с концами A
и B
— отрезок. Проведём через точки M
, K
и P
прямые, параллельные AC
. По теореме о пропорциональных отрезках сторона BC=8
разделится в отношении 1:2:3:4
. Следовательно,
x=\frac{6}{10}=0{,}6;~y=\frac{6}{10}\cdot2=1{,}2;~z\frac{6}{10}\cdot3=1{,}8;~t=2\frac{6}{10}\cdot4=2{,}4.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 4.1, с. 37