16954. Решите уравнение
\sqrt{15-12\cos x}+\sqrt{7-4\sqrt{3}\sin x}=4
на промежутке 0\lt x\lt\frac{\pi}{2}
.
Ответ. x=\frac{\pi}{3}
.
Решение. Данное уравнение можно переписать в виде
\sqrt{12+3-2\cdot\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}\cos x}+\sqrt{4+3-2\cdot2\cdot\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}=4,
или
\sqrt{(\sqrt{12})^{2}+(\sqrt{3})^{2}-2\cdot\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}\cos x}+\sqrt{2^{2}+(\sqrt{3})^{2}-2\cdot2\cdot\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}=4.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC
, с катетами AC=\sqrt{12}
и BC=2
. Пусть AD
— его высота. Тогда
AB=\sqrt{(\sqrt{12})^{2}+2^{2}}=4,~CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{\sqrt{12}\cdot2}{4}=\sqrt{3}.
Обозначим \angle ACD=x
. Тогда \angle BCD=\frac{\pi}{2}-x
. По теореме косинусов
\sqrt{(\sqrt{12})^{2}+(\sqrt{3})^{2}-2\cdot\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}\cos x}=AD,
\sqrt{2^{2}+(\sqrt{3})^{2}-2\cdot2\cdot\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}=DB.
а так как AD+DB=4
, то промежутку 0\lt x\lt\frac{\pi}{2}
принадлежит единственный корень данного уравнения. В прямоугольном треугольнике ADC
катет CD=\sqrt{3}
равен половине гипотенузы AC=2\sqrt{3}
. Следовательно, этот корень — x=\frac{\pi}{3}
.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 4.2, с. 38