16955. Решите уравнение
\sqrt{2-2\cos x}+\sqrt{10-6\cos x}=\sqrt{10-6\cos2x}
на промежутке 0\lt x\lt\frac{\pi}{2}
.
Ответ. x=\arccos\frac{2}{3}
.
Решение. Данное уравнение можно переписать в виде
\sqrt{1^{2}+1^{2}-2\cdot1\cdot1\cdot\cos x}+\sqrt{3^{2}+1^{2}-2\cdot3\cdot1\cdot\cos x}=\sqrt{3^{2}+1^{2}-2\cdot3\cdot1\cdot\cos2x}.
Рассмотрим на плоскости два треугольника с общей стороной CD=1
: треугольник ACD
, в котором AC=1
, \angle ACD=x\lt\frac{\pi}{2}
, и треугольник BCD
, в котором BC=3
и \angle BCD=x
(при этом точки A
и B
лежат по разные стороны от прямой CD
). Тогда левая часть данного уравнения — сумма AD+DB
, а правая часть равна AB
(теорема косинусов). Из построения и данного уравнения следует, что точка D
лежит на отрезке AB
. Тогда
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle BCD},~\mbox{или}~\frac{3}{2}\sin2x=\frac{1}{2}\sin x+\frac{3}{2}\sin x~\Leftrightarrow~2\sin x\cos x=2\sin x,
а так как по условию \sin x\ne0
, то \cos x=\frac{2}{3}
. Промежутку 0\lt x\lt\frac{\pi}{2}
принадлежит единственный корень этого уравнения — x=\arccos\frac{2}{3}
.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 4.4, с. 40