16957. Выведите геометрически формулу синуса суммы для положительных углов, сумма которых меньше 180^{\circ}
.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
и его описанную окружность с центром O
и радиусом R
. Проведём диаметр AD
. Тогда
\angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}.
Пусть \angle DAC=\alpha
и \angle DAB=\beta
. Тогда
AD=2R,~AB=2R\cos\beta,~BD=2R\sin\beta,~AC=2R\cos\alpha,~CD=2R\sin\alpha.
По теореме синусов
BC=2R\sin\angle BAC=2R\sin(\alpha+\beta).
По теореме Птолемея для вписанного четырёхугольника ABDC
получаем
AD\cdot BC=AB\cdot CD+AC\cdot BD~\mbox{или}~4R^{2}\sin(\alpha+\beta)=4R^{2}\cos\beta\sin\alpha+4R^{2}\cos\alpha\sin\beta.
Следовательно,
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 5.3, с. 49