16958. Докажите геометрически формулу синуса двойного угла, меньшего 180^{\circ}
.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC
с боковыми сторонами AB=AC=1
углом 2\alpha
при вершине A
и полуокружность радиуса r
с центром O
на основании BC
, вписанную в угол BAC
.
Пусть D
— точка касания полуокружности со стороной AC
, а BH
— высота треугольника. Тогда O
— середина основания BC
, поэтому AO
— высота и биссектриса треугольника ABC
, а так как так как OD\parallel BE
, то OD
— средняя линия треугольника BHC
. Из прямоугольного треугольника AHB
получаем, что BH=AB\sin\angle BAH
, поэтому
r=OD=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{2}AB\sin\angle BAH=\frac{1}{2}\sin2\alpha.
С другой стороны, поскольку \angle COD=\angle OAD=\alpha
, из прямоугольных треугольников ADO
и COD
получаем
AD=r\ctg\alpha,~CD=r\tg\alpha~\Rightarrow~1=AC=AD+CD=r\ctg\alpha+r\tg\alpha=
=r\left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)=r\left(\frac{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\right)=\frac{r}{\sin\alpha\cos\alpha}~\Rightarrow~r=\sin\alpha\cos\alpha.
Следовательно,
\frac{1}{2}\sin2\alpha=\sin\alpha\cos\alpha~\Rightarrow~\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha.