16959. Докажите, что \ctg56^{\circ}+\tg28^{\circ}=\frac{1}{\cos34^{\circ}}
.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC
с основанием BC
и углом 56^{\circ}
при вершине A
. Углы при его основании равны по 62^{\circ}
. Пусть его высота BD
равна 1.
Из прямоугольных треугольников ADB
и BCD
получаем
\ctg BAD=\ctg56^{\circ}=\frac{AD}{BD}=AD,~\cos ABD=\cos(90^{\circ}-56^{\circ})=\cos34^{\circ}=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{AB},
\tg\angle CBD=\tg(62^{\circ}-34^{\circ})=\tg28^{\circ}=\frac{CD}{BD}=CD.
Поскольку
AD+CD=AC=AB,
получаем, что
\ctg56^{\circ}+\tg28^{\circ}=\frac{1}{\cos34^{\circ}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — , N D33, с. 93