1696. Докажите, что окружность, построенная на стороне равностороннего треугольника как на диаметре, проходит через середины двух других сторон треугольника.
Указание. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является также медианой.
Решение. Пусть окружность, построенная на стороне AB
равностороннего треугольника ABC
, пересекает сторону AC
в точке M
, отличной от A
. Поскольку точка M
лежит на окружности с диаметром AB
, то \angle AMB=90^{\circ}
. Поэтому BM
— высота треугольника ABC
, а так как высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой, то M
— середина AC
.