16960. Числа x_{1}
, x_{2}
, x_{3}
и x_{4}
лежат на отрезке [0;1]
. Докажите, что
x_{1}(1-x_{2})+x_{2}(1-x_{3})+x_{3}(1-x_{4})+x_{4}(1-x_{1})\leqslant2.
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной 1. Отложим на его сторонах отрезки, равные x_{1}
, x_{2}
, x_{3}
и x_{4}
(см. рис.). Последовательно соединив их концы, лежащие на сторонах квадрата, получим разбиение квадрата на четыре прямоугольных треугольника и четырёхугольник (возможно, вырождающиеся в треугольник или отрезок, если какие-то точки деления совпали с вершинами).
Сумма площадей треугольников равна
\frac{1}{2}x_{1}(1-x_{2})+\frac{1}{2}x_{2}(1-x_{3})+\frac{1}{2}x_{3}(1-x_{4})+\frac{1}{2}x_{4}(1-x_{1}).
Эта сумма не превосходит площади квадрата, которая равна 1, т. е.
\frac{1}{2}x_{1}(1-x_{2})+\frac{1}{2}x_{2}(1-x_{3})+\frac{1}{2}x_{3}(1-x_{4})+\frac{1}{2}x_{4}(1-x_{1})\leqslant1.
Умножив обе части этого неравенства на 2, получим требуемое.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д27, с. 92