16964. Найдите наименьшее значение выражения
\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}.
Ответ. 2.
Решение. Функция f(x)
определена для всех действительных x
и f(-x)=f(x)
, поэтому она чётная. Значит достаточно рассмотреть только x\geqslant0
. Заметим, что f(0)=2
, и докажем, что f(x)\gt2
для всех x\gt0
.
Рассмотрим на плоскости два треугольника ABD
и ACD
, в которых AD=x
, BD=CD=1
, \angle ADB=60^{\circ}
, \angle ADC=120^{\circ}
. По теореме косинусов
AB=\sqrt{x^{2}-x+1},~AC=\sqrt{x^{2}+x+1}.
Кроме того,
\angle ADB+\angle ADC=180^{\circ},
поэтому точка D
лежит на отрезке BC
.
Для x\gt0
выполняется неравенство
AB+AC\gt BC,~\mbox{т. е.}~f(x)\gt2.
Следовательно, наименьшее значение выражения
\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}
равно 2.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д22, с. 92