16967. Найдите наименьшее значение дроби \frac{x}{y}
, если \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=1
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Левая часть данного равенства имеет смысл, если x\geqslant1
и y\geqslant1
. Кроме того, значение каждого из слагаемых не превосходит 1. Таким образом
1\leqslant x\leqslant2,~\mbox{и}~1\leqslant y\leqslant2.
Значит, график уравнения \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=1
(т. е. множество всех точек, удовлетворяющих этому уравнению) целиком лежит в квадрате ABCD
(см. рис.).
Выражение \frac{x}{y}
принимает наименьшее значение, если значение x
наименьшее из возможных, а значение y
— наибольшее. Из всех точек квадрата ABCD
этим условиям удовлетворяет точка B(1;2)
. Эта точка принадлежит графику данного уравнения, так как её координаты удовлетворяют условию \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=1
. Следовательно, наименьшее значение дроби \frac{x}{y}
равно \frac{1}{2}
.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 2.6, с. 18