16968. Известно, что положительные числа x
, y
, z
удовлетворяют системе
\syst{x^{2}+xy+\frac{1}{3}y^{2}=25\\\frac{1}{3}y^{2}+z^{2}=9\\z^{2}+zx+x^{2}=16.\\}
Найдите значение выражения xy+2yz+3xz
.
Ответ. 24\sqrt{3}
.
Решение. Пусть t=\frac{y}{\sqrt{3}}
. Тогда система примет вид
\syst{x^{2}+xt\sqrt{3}+t^{2}=25\\t^{2}+z^{2}=9\\z^{2}+zx+x^{2}=16.\\}~\Leftrightarrow~\syst{x^{2}-2xt\cos150^{\circ}+t^{2}=5^{2}\\t^{2}+z^{2}=9\\z^{2}-2zx\cos120^{\circ}+x^{2}=4^{2}.\\}
Рассмотрим треугольник ABC
с выбранной внутри него точкой O
, для которой OA=x
, OB=t
, OC=z
и из которой стороны AB
, AC
и BC
видны под углами 150^{\circ}
, 120^{\circ}
и 90^{\circ}
соответственно. Тогда первое и третье уравнения системы представляют собой теорему косинусов для треугольников AOB
и AOC
, а второе — теорему Пифагора для треугольника BOC
, причём AB=5
, AC=4
и Bc=3
. Треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
.
Теперь заметим, что
xy+2yz+3xz=xt\sqrt{3}+2zt\sqrt{3}+3xz=
=4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}xt\cdot\sin150^{\circ}+4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}tz+4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}zx\sin120^{\circ}=
=4\sqrt{3}S_{\triangle AOB}+4\sqrt{3}S_{\triangle BOC}+4\sqrt{3}S_{\triangle AOC}=4\sqrt{3}S_{\triangle ABC}=
=4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}BC\cdot AC=4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=24\sqrt{3}.
Итак,
xy+2yz+3xz=24\sqrt{3}.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 4.3, с. 39