16971. Сколько решений имеет уравнение
\sqrt{(x+3)^{2}+(y+2)^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}=5?
Ответ. Бесконечно много.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
и точки M(x;y)
, A(-3;-2)
и B(1;1)
. Тогда
AM=\sqrt{(x+3)^{2}+(y+2)^{2}},~BM\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}},
AB=\sqrt{(1-(-3))^{2}+(1-(-2))^{2}}=AB.
Значит, условие задачи равносильно равенству
AM+BM=5.
Таким образом, точка M
удовлетворяет условию задачи тогда и только тогда, когда она лежит на отрезке AB
. Координаты любой точки этого отрезка удовлетворяют данному уравнению. Следовательно, у него бесконечно много решений.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 2.1, с. 17