16972. Найдите наименьшее значение выражения
\sqrt{(x-9)^{2}+4}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{(y-3)^{2}+9}.
Ответ. 13.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
и точки A(9;2)
, B(3;3)
, C(0;y)
и D(x;0)
. Тогда
AD=\sqrt{(x-9)^{2}+(0-2)^{2}}=\sqrt{(x-9)^{2}+4},~DC=\sqrt{(x-0)^{2}+(0-y)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
CB=\sqrt{(3-0)^{2}+(3-y)^{2}}=\sqrt{(y-3)^{2}+9}.
Таким образом, данное выражение принимает наименьшее значение тогда и только тогда, когда длина ломаной ADCB
, концы A
и B
которой фиксированы, а точки C
и D
лежат на осях координат, будет наименьшей.
Рассмотрим точку A'(9;-2)
, симметричную точке A
относительно оси абсцисс, и точку B'(-3;3)
, симметричную точке B
относительно оси ординат. Тогда
AD+DC+CB=A'D+DC+CB',
поэтому наименьшее значение такой суммы равно длине отрезка A'B'
и достигается, если точки C
и D
лежат на этом отрезке.
Следовательно, искомое наименьшее значение равно
A'B'=\sqrt{(-9-3)^{2}+(-2-3)^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 2.4, с. 17