16973. Имеет ли система
\syst{x^{2}+xy+y^{2}=4\\x^{2}+xz+z^{2}=9\\y^{2}+yz+z^{2}=36.\\}
положительные решения?
Ответ. Нет, не имеет.
Решение. Пусть (x;y;z)
— решение данной системы (x\gt0
, y\gt0
, z\gt0
). Выберем на плоскости произвольную точку O
и построим треугольники AOB
, BOC
и AOC
с углами 120^{\circ}
при общей вершине O
и сторонами OA=x
, OB=y
и OC=z
.
По теореме косинусов
AB=\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}=2,~BC=\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}=6,~AC=\sqrt{x^{2}+xz+z^{2}}=3.
Для треугольника ABC
получим, что
AB+AC=2+3=5\lt6=BC,
что противоречит неравенству треугольника. Следовательно, данная система не имеет положительных решений.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д25, с. 92