16978. Каждое из чисел a
, b
, c
и d
лежит на отрезке [2;4]
. Докажите, что выполняется неравенство
25(ab+cd)\geqslant16(a^{2}+d^{2})(b^{2}+c^{2}).
Решение. Доказываемое неравенство равносильно неравенству
\frac{|ab+cd|}{\sqrt{a^{2}+d^{2}}\cdot\sqrt{b^{2}+c^{2}}}\geqslant\frac{4}{5}.
Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
и векторы \overrightarrow{OA}=(a;d)
и \overrightarrow{OB}=(b;c)
. Тогда
|\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}|=|ab+cd|,~|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{a^{2}+d^{2}},~|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{b^{2}+c^{2}}.
Значит, доказываемое неравенство имеет вид \cos\angle AOB\geqslant\frac{4}{5}
.
Поскольку каждое из чисел a
, b
, c
и d
принадлежит отрезку [2;4]
, получаем, что точки A
и B
принадлежат закрашенному квадрату (см. рис.). Наименьшее значение косинуса угла AOB
достигается при наибольшем возможном значении этого угла, т. е. для точек A(2;4)
и B(4;2)
. В этом случае
\cos\angle AOB=\frac{|2\cdot4+4\cdot2|}{\sqrt{2^{2}+4^{2}}\cdot\sqrt{4^{2}+2^{2}}}=\frac{4}{5}.
В остальных случаях \cos\angle AOB\gt\frac{4}{5}
.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 6.6, с. 57