16979. Для углов \alpha
, \beta
и \gamma
справедливо неравенство \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\geqslant2
. Докажите, что \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\leqslant\sqrt{5}
.
Решение. Рассмотрим три вектора \overrightarrow{a}=(\cos\alpha;\sin\alpha)
, \overrightarrow{b}=(\cos\beta;\sin\beta)
и \overrightarrow{c}=(\cos\gamma;\sin\gamma)
, модули которых равны 1. Тогда
|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|=\sqrt{(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)^{2}+(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)^{2}}\geqslant
\geqslant\sqrt{(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)^{2}+4}.
С другой стороны
|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|\leqslant|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{c}|=3.
Следовательно,
\sqrt{(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)^{2}+4}\leqslant3~\Leftrightarrow~(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)^{2}\leqslant5~\Leftrightarrow
\Rightarrow~\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\leqslant\sqrt{5}.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 6.8, с. 57